Les entiers sont l’un des concepts mathématiques les plus fondamentaux. En effet, ils sont utilisés dans de nombreux domaines de la mathématique et de l‘informatique. On les remarque aussi dans de nombreuses autres disciplines comme la physique, la chimie et l’économie. Découvrez dans cet article, les entiers, leurs propriétés ainsi que leurs utilisations.
Plan de l'article
Définition des entiers
Un entier est un nombre qui ne possède pas de partie décimale. Autrement dit, un entier peut être positif, négatif ou nul, mais qu’il ne peut pas être une fraction ou un nombre décimal. Les entiers sont généralement notés par la lettre Z. L’ensemble des entiers est noté Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}.
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Il existe plusieurs sous-ensembles d’entiers, tels que les entiers naturels, les entiers négatifs, les entiers pairs et les entiers impairs. Les entiers naturels sont les nombres entiers positifs, commençant par 1, 2, 3, … Les entiers négatifs sont les nombres entiers négatifs, commençant par -1, -2, -3, … Entiers pairs sont les nombres entiers qui sont divisibles par 2, tels que -4, -2, 0, 2, 4, … Les entiers impairs sont les nombres entiers qui ne sont pas divisibles par 2, tels que -3, -1, 1, 3, 5, …
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Propriétés des entiers
Les entiers ont plusieurs propriétés importantes qui sont utilisées dans de nombreuses branches de la mathématique. Tout d’abord, ils sont utilisés sous l’addition et la multiplication. Cela signifie que si vous ajoutez ou multipliez deux entiers, vous obtiendrez un autre entier. De plus, les entiers sont associatifs et commutatifs sous l’addition et la multiplication, ce qui veut dire que vous pouvez les ajouter ou les multiplier dans n’importe quel ordre et obtenir le même résultat.
Les entiers ont également des propriétés de divisibilité importantes. Par exemple, si un entier est divisible par un autre entier, cela signifie que le premier entier peut être divisé en parties égales par le second entier. Par exemple, 6 est divisible par 3 car 6/3 = 2 est un entier.
En outre, si un entier est divisible par 2, cela signifie qu’il est pair, et si un entier n’est pas divisible par 2, cela signifie qu’il est impair.
Utilisations des entiers
Les entiers ont de nombreuses utilisations pratiques dans la vie quotidienne. En effet, les entiers permettent la comptabilisation de la quantité d’objets ou de personnes, la mesure de la distance ou du temps, et la détermination des montants d’argent. Les entiers sont également employés dans de nombreuses applications mathématiques, telles que l’algèbre, la théorie des nombres, la géométrie et la statistique.
Utilisations des entiers : en informatique
En informatique, les entiers sont couramment utilisés pour représenter des valeurs numériques entières. En particulier, ils sont utilisés pour stocker des nombres dans la mémoire de l’ordinateur et effectuer des calculs arithmétiques sur ces nombres.
La taille de la mémoire allouée pour stocker un entier dépend du type de données utilisé. Par exemple, en C, un entier de type « int » utilise généralement 4 octets de mémoire, tandis qu’un entier de type « long long » utilise 8 octets. Il est important de choisir la taille appropriée pour éviter les erreurs de débordement ou de sous-débordement lors de l’exécution des calculs.
Opérations mathématiques avec les entiers
En mathématiques, les entiers sont utilisés pour effectuer toutes sortes d’opérations arithmétiques. L’addition, la soustraction, la multiplication et la division, ces opérations élémentaires peuvent être appliquées aux entiers de manière conventionnelle.
Le résultat de l’addition ou de la soustraction de deux entiers est toujours un autre entier. Toutefois, il n’en va pas de même avec la multiplication et la division. La multiplication de deux grands nombres peut dépasser le maximum autorisé par le système informatique utilisé, ce qui peut entraîner des erreurs imprévues dans les calculs.
Lorsqu’on divise un nombre pair par 2 avec une instruction ‘div’, on obtient un quotient exact en termes d’un nouvel entier aussi appelé ‘nombre impair’. Effectivement, si on avait divisé 7/2 sans prendre en compte que nous travaillons sur des nombres pairs, cela aurait donné comme résultat non pas 3 mais plutôt 3,5.
Il faut aussi faire attention à ne pas diviser par zéro car cela provoque une erreur fatale dans le programme. Lorsque vous travaillez avec des fractions décimales dans vos opérations arithmétiques, il est capital de prendre en compte les arrondis pouvant être effectués par le système informatique.
Les ordinateurs représentent ces valeurs sous forme binaire flottante plutôt qu’en tant qu’entiers purs afin d’éviter les problèmes liés aux approximations numériques pouvant résulter du stockage des décimales flottantes en mémoire.
Dans l’ensemble, savoir manipuler correctement les entiers est capital pour tous ceux qui travaillent en programmation informatique ou étudient les mathématiques avancées. Un bon programmeur doit savoir comment gérer les entiers dans son code pour éviter des erreurs imprévues et garantir un fonctionnement optimal de l’application.
Différence entre entiers et nombres réels
Il existe une différence importante entre les entiers et les nombres réels. Les entiers sont des nombres entiers positifs ou négatifs, tandis que les nombres réels peuvent avoir une valeur décimale, comme 3,5 ou -2,5.
Les entiers ne sont pas continus comme les nombres réels, ce qui signifie qu’il y a un nombre fini d’entiers entre deux valeurs données. Par exemple, il n’y a pas de nombre entier entre 1 et 2 ; la seule option est d’utiliser des fractions pour représenter cette plage de valeurs.
Alors que l’on peut effectuer toutes sortes d’opérations arithmétiques avec des entiers tels que l’addition et la soustraction sans problèmes particuliers avec le système informatique utilisé en binaire flottant car ces opérations restent dans le domaine mathématique discret, mais lorsqu’on utilise des opérations mathématiques sur des nombres à virgule flottante (nombres non-entières) comme par exemple la division, on doit prendre en compte leur représentation en mémoire sous forme de mantisse (partie significative) et exposant afin d’éviter toute erreur imprévue liée aux approximations numériques résultant du stockage dans la machine. Cette étape de traitement coûte cependant du temps processeur supplémentaire.
En programmation informatique, pensez à bien comprendre cette différence pour éviter tout problème potentiel lors du codage ou lors de l’exécution du programme. Il faut être conscient lorsque nous manipulons une variable si elle est un entier ou un nombre réel. Les opérations sur les nombres réels nécessitent une mémoire plus complexe et peuvent prendre plus de temps pour être traitées par rapport aux entiers.
La différence entre les entiers et les nombres réels peut sembler subtile au premier abord, mais elle a des implications importantes en programmation informatique et dans le domaine mathématique. Une compréhension claire de cette distinction est essentielle pour éviter tout problème potentiel lors de l’utilisation des fonctions arithmétiques de base ou avancées selon le cas d’usage.
